01/08/2023
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Exercice :
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (0;l,J), on considère la fonction h de la variable réel x définie sur [0;π] par h(x)=ln(2+cosx).
a)étudie les variations de h.
b) Démontre que la fonction h admet une bijection réciproque h-¹ puis dresse son tableau de variation.
c) Détermine le plus grand intervalle E sur lequel h-¹ est dérivable puis calcule (h-¹)'(x) pour tout x£E.
Bonne inspiration !
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Éléments de réponse :
1-a) Étudions les variations de la fonction h.
* Ensemble de définition Dh de h.
Dh={x£[0;π]/(2+cosx)>0}
x£[0;π]00==> - sinx(0) |
|--------|---------------------------------------|
b) Démontrons que la fonction h admet une bijection réciproque h-¹ puis dressons sont tableau de variation.
• D'après 1-a), h est continue et strictement décroissante sur [0;π], donc h réalise une bijection de [0;π] sur h([0;π])=[0;ln3]. D'où h admet une bijection réciproque h-¹ de [0;ln3] sur [0;π].
• tableau de variation de h-¹.
h-1 est strictement décroissante sur [0;ln3], d'où TV de h-¹.
|-------------|----------------------------------| | x | 0 ln3|
|-------------|----------------------------------|
| (h-¹)'(x)| - |
|------- -----|----------------------------------|
| | (π) |
| | ∆ |
|(h-¹)(x) | ∆ |
| | ∆ |
| | ∆>(0) |
|-------------|----------------------------------|
c) Déterminons le plus grand intervalle E sur lequel h-¹ est dérivable puis calculons (h-¹)'(x) pour tout x£E.
• h est une bijection dérivable sur [0;π] et ¥x£[0;π], h'(x)>0; donc sa bijection réciproque h-¹ est dérivable sur E=h([0;π]); soit E=[0;ln3].
•On a alors :
(h-¹)'(x)=1/h'[h-¹(x)], ¥x£E.
Posons h-¹(x)=y, y£([0;π]
On a donc (h-¹)'(x)=1/h'(y), ¥x£E.
Cherchons h'(y), ¥y£(0;π].
On a:
h'(y)=-siny/2+cosy, y£(0;π].
Or h-¹(x)=yh(y)=x
ln(2+cosy)=x
2+cosy=exp(x)
cosy=exp(x)-2
sin²y+cos²y=1 sin²y=1-cos²y sin²y=1-(exp(x)-2)² sin²y=1-[(exp(2x)-4exp(x)+4]
sin²y=4exp(x)-exp(2x)-3
siny=√[4exp(x)-exp(2x)-3]
car y£([0;π]==>siny>0
Donc h'[h-¹(x)]=h'(y) =-√[4exp(x)-exp(2x)-3]/2+[exp(x)-2]
=-√[4exp(x)-exp(2x)-3]/exp(x)
Ainsi :
(h-¹)'(x)=1/(-√[4exp(x)-exp(2x)-3]/exp(x))
D'où
(h-¹)'(x)=-exp(x)/√[4exp(x)-exp(2x)-3]
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Du courage et bonne chance si tu es candidat (e) au BAC 2024.
NB: un corrigé-type se lit avec beaucoup d'attention pour sa compréhension 🙏🙏🙏
L'inspiration est au top🙏.
